关于数学教育和“掌握”的思考

莎拉在我的课堂上从未笑过。至少，她的眼睛没有笑。她低声说话。我通常听不到的细语。她是众多学生中的一个，我记得她是因为尽管我尽了最大的努力，我仍然无法帮助她把自己看作是一个数学思考者，或者培养她的好奇心和数学技能。

在我的大部分教学生涯中，我教的是需要额外支持的八年级数学学生。我的合作教师和我被要求确保学生涵盖一年级代数的全部课程组成部分。大多数学生已经讨厌数学，并且认为自己学不好数学，而且永远不会进步。他们过去成绩不好，觉得数学很无聊，并且希望我们也能如此。

我怎么能责怪他们呢？许多学生把数学看作是与身体分离的、枯燥乏味和令人厌烦的。数学课是一种持续的困惑和挫败感。这些学生很有礼貌，很友善。他们没有对我这样说。但我能从蒂娜尽可能地溜走，去水龙头喝水的方式看出来，从乔垂着肩膀坐着的方式看出来，从萨曼莎考试时，头枕在手臂上，无声的泪水顺着她的脸颊流下来的方式看出来。

我们每年都从复习分数运算开始。学生们呻吟着。我的心沉了下去。对分数的理解高度预测了高水平数学的成功。他们不确定1/20比2/5大还是小。我试图激发谈话和好奇心。 20分之一有多大？如果我们把某物切成100块呢？ 1000块呢？这些碎片会更小还是更大？我们继续。课程总是要继续，拖着大多数不理解上一单元，现在又被扔进一个新单元的学生。我知道，如果一个学生在九月份不理解分数，他们就不会在三月份理解负指数（剧透：又是分数！）。这种类型的学习就像纸牌搭的房子。我们会把它们搭建起来。

在五月份，我们的学生参加了代数标准化考试，我们总会得到一个正态分布。教师们常常因为正态分布而受到称赞。我从未理解过这一点。我不需要正态分布。我希望每个人都能掌握材料。这对我来说是至关重要的。其他任何事情都会让我的胃扭曲，并且感觉不道德。我怎么能让我的大多数学生在没有基本的计算能力甚至更低的自信心的情况下进入高中呢？

掌握意味着什么？

为了培养掌握能力，学生必须掌握基本技能，练习一起使用它们，并知道何时应用他们所学到的知识。

学习是情境化的。将学习推广到新的情境（教育研究人员称之为迁移）需要促进。多年来，许多人告诉我，掌握是不现实的。总会有学生拿不到A。“但我们难道不希望他们掌握中学数学吗？”我会回答。“我们真的不相信所有这些学生都有能力理解分数吗？”

我最喜欢的反驳是那些争论并非每个学生都应该进入荣誉数学班的观点。“如果他们都拿到A，”这种想法认为，“我们怎么知道谁能真正做下一级的工作呢？”

正如Sanjay Sarma在他的书《掌握》中指出的那样，美国的教育系统长期以来一直在“筛选”大量的人，以确定哪些人应该得到教育投资，哪些人不应该得到教育投资。这一点在数学教育中再清楚不过了。通常早在四五年级，学生们就被分到不同的数学“轨道”中，有不同的进度、深度和对学生长期成功的未言明的期望。从小学到高中再到大学，这些轨道常常变成“陷阱”，加剧了我们社会中的系统性不平等。我们见证了“目标置换”；最初旨在帮助提供更好教学的对学生的筛选，现在已经成为其本身的目标。

另一种对现状的常见辩护是，学生们需要从糟糕的成绩中吸取一些“教训”，比如如何记更好的笔记、更有效地学习或更快地参加考试。这种说法是“严厉的爱”的一种形式，我们帮助学生体验他们行为的后果。除了我们很少花时间明确地教授这些技能或讨论它们。如果我们不教他们，他们怎么知道下一次如何成功？另一个常见的回答是，我们根本没有时间。然而，我们教学的节奏意味着学生只有肤浅的理解，对概念的保留能力很差，并且经常需要重新教学。

我在学术上很强的私立学校教数学的经历，这些学校拥有丰富的资源。如果我们在这种情况下不能确保学生掌握量化素养，那么在什么地方，在什么时候有可能呢？

创建一个允许所有学生掌握基本数学概念并对自己的数学推理充满信心的系统并不容易，但我们必须尝试。

目前的系统迫使每个人都在相同的时间表内达到熟练程度。这忽略了个人差异以及过去几十年的认知科学研究。我们目前的数学教学模式错失了通过数字的乐趣和力量来提升几代学生的机会。

教学是一项非常困难和复杂的工作。然而，我们确实对人类学习了解很多，这些可以帮助我们想象一个更好的系统。

我们可以从共同的期望开始，即我们课堂上的所有学生都有能力掌握基本的数学技能和思维习惯。我们可以让掌握成为学习的结果，而不是在课堂上花费一定的时间。我们可以调整我们的课堂和评估，以便学生按照最适合他们的速度学习材料，并掌握他们可以终身使用的技能。

一些个人和机构已经在做出这些改变。例如，现代课堂项目为教师提供基于掌握的课堂教学模式的专业发展，而掌握成绩单联盟是一个重新构想高中成绩单的学校网络。

在我们这一代有才华的学生被筛选掉，大多数人被抛弃之前，我们必须加速这种转变。